Расчет осесимметричных колебаний пьезокерамического цилиндра с тангенциальными поляризацией и возбуждением

Аннотация

И.Н. Мощенко, Н.М. Товаровская, Н.Н. Харабаев, В.К. Яценко

При расчете вибраций пьезоактивных тел под действием электрического возбуждения приходится совместно решать уравнения электростатики, теории упругости и пьезоэффекта. И такие задачи значительно трудней задач обычной теории упругости. В работе предлагается новый метод расчета, позволяющий в некоторых случаев упростить задачу и провести вычисления до конца в аналитическом виде. Он заключается в приведении совместных уравнений электростатики, упругости и пьезоэффекта к уравнениям теории упругости с эффективной объемной силой, построении бесконечной цепочки вложенных уравнений, с объемной силой асимптотически убывающей до нуля, и поиском решений в виде суммы абсолютно сходящихся рядов. Предложенный метод проиллюстрирован на примере вычисления в двумерном приближении  мод осевой симметрии вибраций пьезокерамического цилиндра с тангенциальной поляризацией и тангенциальным электрическим возбуждением.
Ключевые слова: колебания, пьезокерамический цилиндр, теоретический анализ, совместные уравнения электростатики, упругости и пьезоэффекта, аналитическое решение,  моды осевой симметрии, резонансные частоты № гос. регистрации 0420900096\0007

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

Ростовский государственный строительный университет
Южный федеральный университет

Для создания мощных ультразвуковых излучателей радиальных колебаний часто используют толстостенные пьезокерамические цилиндры, склеенные из секторов с тангенциальной поляризацией. Соседние сектора при этом имеют противоположную поляризацию и включаются в электрическую цепь также противофазно. На рис. 1 приведено поперечное сечение цилиндра, склеенного из четырех секторов. Стрелками внутри цилиндра показаны направления поляризации в секторах.

Рис. 1. Поперечное сечение цилиндра, склеенного из четырех секторов и схема его электрического включения. Стрелками внутри цилиндра показаны направления поляризации в секторах, полужирными линиями – электроды.

В реальных устройствах число секторов больше (обычно 12 - 24). В статье исследуется общий случай  с (2 m) секторами и  (2 m)  электродами, при этом разность потенциалов  на соседних электродах:

φ_2i - φ_2i-1 = -φ_2i+1 + φ_2i = u₀ cos(ωt), i=1….m;                                            (1)

где u₀ – амплитуда напряжения,  ω – частота, t - как обычно, время.
Экспериментально для таких систем наблюдаются в зависимости от геометрических размеров и частоты различные моды колебаний. В частности, для длинных цилиндров характерны моды, близкие к плоским, когда смещения практически перпендикулярны оси, а их амплитуда и фаза слабо изменяются в осевом направлении. Целью настоящей работы является теоретический анализ таких колебаний в двумерном приближении, то есть рассматривается идеализированный случай полностью плоских колебаний, для которых смещения uz вдоль оси цилиндра отсутствуют, а остальные смещения ur и uq не изменяются в этом направлении. (В работе используется  цилиндрическая система координат (r, θ, z), связанная с нашим объектом, с началом координат на оси и координатой z вдоль оси цилиндра.)
Задача решается в рамках линейной теории пьезоупругости, в предположении, что по упругим свойствам материал полностью изотропен, а по пьезоэлектрическим – поляризован в тангенциальном направлении и полностью изотропен в перпендикулярном.
В соответствии с такой симметрией, упругие свойства описываются двумя коэффициентами Ламе μ и λ, а пьезоэлектрические, в общем случае, пятерыми не равными нулю пьезомодулями. В цилиндрической системе координат это ε_r,rθ= ε_z,zθ; ε_θ,rr= ε_θ,zz; ε_θ,θθ (в рассматриваемом плоском случае они сведутся к трем пьезомодулям ε_r,rθ; ε_θ,rr; ε_θ,θθ).   Для решения поставленной задачи необходимо найти совместное решение уравнений движения:

                                 (2)

здесь - компоненты тензора напряжения; ρ – плотность; - i–ая компонента вектора перемещения; И уравнений электростатики:

                                                       (3)

Где компоненты Е_i и D_j векторов напряженности и индукции электростатического поля связаны соотношениями теории пьезоэффекта:

             (4)

здесь ε – диэлектрическая проницаемость, ε₀ – электрическая постоянная, ε_ij – компоненты тензора деформации, связанные с тензором напряжений обобщенным законом Гука:

                                                  (5)

где - относительное изменение объема.
Отметим, что из принятых в работе допущений (u_z=0, u_r= u_r(r, θ) и u_θ= u_θ(r, θ)) следует двухмерность уравнений (2) и (3), равенство нулю z компонент векторов напряженности и индукции электростатического поля, а также iz компонент тензора деформации (i - любое) и rz и qz компонент тензора напряжений.
Кроме граничных условий (1) для электрических переменных, решения уравнений (2 – 5) должны удовлетворять также следующим граничным условиям для упругих переменных:

                                                                        (6)

Из первого уравнения системы (3) вытекает потенциальность поля напряженности , где электрический потенциал должен удовлетворять граничным условиям (1). Так как соседние сектора исследуемого цилиндра противофазны и по поляризации и по электрическому подключению, то рассматриваемая задача полностью эквивалентна задаче с поляризацией секторов в одном направлении и их синфазном подключении. При этом разность потенциалов  на соседних электродах:

φ_2i - φ_2i-1 = φ_2i+1- φ_2i = u0 cos(ωt), i=1….m.                                            (7)

Что ведет к следующим граничным условиям для электрического потенциала:

                                      (8)

В работе рассматривается задача именно в такой, редуцированной постановке, с граничными условиями (8) для потенциала. При этом второе уравнение системы (3) решается в приближенном виде. Введем вектор :

Тогда (3) можно записать

                                                    (9)

Предположим, что для всех решений  (вернее ). Тогда второе уравнение системы (3) можно приближенно заменить

                                                                             (10)

Физически мы пренебрегли электрическим полем, создаваемы прямым пьезоэффектом по сравнению с электрическим полем внешних источников в конденсаторе.
Подставляя  в (9), получим уравнение для :

                                                                                 (11)

где  - оператор Лапласа.
Это уравнение имеет частное решение

                                                              (12)

удовлетворяющее нашим граничным условиям. Отсюда определим компоненты вектора напряженности:

                                                        (12a)

Подставив (12a) в (5), получим обобщенный закон Гука в следующей форме

                                                       (14)

Теперь если выразим через перемещение, подставим в (14), а (14) в уравнение движения (2), то получим уравнения движения в перемещениях

                     (15)

Здесь E и σ – модуль Юнга и коэффициент Пуассона (), а массовая сила имеет следующие компоненты:                                                                        
Для решения уравнения (15) воспользуемся методом Ламе. Представим где    т.е. (). Отметим, что в двухмерном случае векторный потенциал  сводится к скалярному  и компоненты вектора смещения следующим образом выражаются через оба скалярные потенциалы:

                                                          (16)

Выразим так же массовую силу из (15) через соответствующий скалярный потенциал:  Подставим и в уравнение движения (15) и получим два скалярных уравнения для потенциалов  и :

                                                (17)
                                                             (18)

где  и  - продольная и поперечная скорости звука соответственно. 
Уравнения (17), (18) вместе с граничными условиями (6)  описывают плоские моды колебаний исследуемого пьезокерамического цилиндра, в частности и осесимметричные колебания.  В последнем случае задача становиться одномерной, отсутствует угловая зависимость, и вектор смещений имеет только одну радиальную компоненту, которая может быть выражена через один скалярный потенциал  , удовлетворяющий уравнению (17). Лапласиан в этом случае сводится к  и уравнение (17) переходит в

.                    (19)

Будем искать решение (19) в виде тогда это уравнение переходит в

                                              (20)

где .
Для приведения уравнения (20) к уравнению Гельмгольца сделаем вложенную цепочку замен переменных

И так далее, вплоть до
Отметим, что в этой цепочке

                         (21)

При этом для любых  и  можно найти  такое, что при   выполняется т.е.  и в пределе при
При этом мы перейдем к уравнению , т.е. к уравнению Гельмгольца, его частное решение

                                                (22)

где  - функция Бесселя первого рода нулевого порядка,  - функция Бесселя второго рода нулевого порядка, D и G  - константы.
Обращая цепочку замен (21), определим Ф₁

       (23)

где

                                                                   (24)

и члены ряда Bi определены в (21). Отметим, что в соответствии со свойствами Bi, указанными ниже (21), ряд sмажорируетсягеометрической прогрессией, а значит, сходится абсолютно. Более того, его можно почленно дифференцировать

,                                                               (25)

где . Для этого ряда также нетрудно показать, что и он сходится абсолютно и его можно почленно дифференцировать

                                                             (26)

где  и ряд также сходится абсолютно.
Таким образом, потенциал Ф1 выражается через известный потенциал  (22) и бесконечный абсолютно сходящийся ряд (24)

                                                 (27) 

Это дает возможность определить потенциал Ф поля перемещений ur, а по нему – сами перемещения, деформации и напряжения. Последние при этом будут выражаться через производные от Ф1 и абсолютно сходящиеся ряды (25) и (26):

 ,                                    (28)                  

             
дальше мы везде множитель  опускаем, т.е. везде ниже приводятся амплитуды колебаний  соответствующих величин.

                         (29)

Уравнения (28 - 29) определяют решение нашей задачи с точностью до двух неизвестных констант (22)
Для их определения воспользуемся граничными условиями (6). Подставив (29), (22) в (6) и выразив производные от функций Бесселя нулевого порядка через функции Бесселя первого порядка, получим два уравнения

                                                   (30)

где введены коэффициенты






здесь J₁ и N1 – функции Бесселя первого порядка, первого и второго рода соответственно.
Решения этих уравнений определяет неизвестные коэффициенты D и G

                                                   (31)

где


.
Найденные  соотношения (31) вместе с (29), (22) и (12а) полностью описывают  осесимметричные плоские колебания исследуемого пьезокерамического цилиндра. Хотя в эти соотношения входят бесконечные ряды, однако проведенные исследования показали, что они достаточно быстро сходятся. Для каждого конкретного случая по (31) можно численно рассчитать значения коэффициентов D и G с любой заданной степенью точности. Используя эти коэффициенты и обрывая ряды (погрешность вычислений при этом контролируется по остаточным членам), по (29), (22) и (12а) определяются поля амплитуд смещений, деформаций и напряжений, как в численном, так и аналитическом виде.
Отметим, что для найденного осесимметричного решения  если мы подставим эти выражения в уравнение для вектора , то получим .
В этом случае , т.е. ранее постулированное уравнение (10) выполняется в данном случае точно, а не приближено.
Полученные результаты дают возможность так же вычислять резонансные частоты осесимметричных плоских колебаний для конкретных случаев. Уравнение для резонансных частот получается из условия равенства нулю определителя :

.                                                  (32)

Это уравнение опять же решается численно, с возможностью контроля погрешности вычислений. Отметим, что в уравнение для нахождения резонансных частот не входят пьезомодули, полученное уравнение эквивалентно уравнению тангенциальных колебаний не пьезоактивных цилиндров. Другими словами, в работе показано, что в первом (без диссипативном) приближении для определения резонансных частот исследуемого пьезокерамического цилиндра можно использовать имеющиеся в литературе данные по тангенциальным колебаниям не пьезоактивных цилиндров.