Математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала
Аннотация
Математическая модель учитывает геометрическую и физическую нелинейности, возможность развития деформации ползучести. Работа ребер учитывается с помощью метода конструктивной анизотропии, но с учетом сдвиговой и крутильной жесткости. При решении физически-нелинейных задач секущий модуль определяется непосредственно из кривой «σ-ε», найденной опытным путем. Математическая модель записана в виде функционала полной энергии деформации. Такая модель может быть использована для комплексного исследования устойчивости подкрепленных оболочек вращения.
Ключевые слова: устойчивость подкрепленных оболочек вращения, линейно-упругие задачи, нелинейно-упругие задачи, задачи ползучести.Ключевые слова:
05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
При деформировании срединной поверхности оболочки все точки получат перемещения. Связь деформаций через перемещения – геометрические соотношения теории оболочек – в срединной поверхности принимают вид [1]
где
Кроме того, если учитываются поперечные сдвиги (модель Тимошенко – Рейснера), то
Здесь 
– функция, характеризующая распределение напряжений 
по толщине оболочки; A,B – параметры Ляме.
Деформации в точках, расположенных на расстоянии z от координатной поверхности, выражаются соотношениями
где функции изменения кривизн 
и кручения 
принимают вид
Физические соотношения (связь напряжений и деформаций) для упругого изотропного материала оболочки на основе закона Гука будут иметь вид
Физические соотношения на основе деформационной теории пластичности имеют вид [2][3]
где Ec-секущий модуль упругости.
Физические соотношения при учете ползучести материала на основе линейной теории наследственной ползучести принимают вид [4]
Здесь 
– функции влияния (ядра релаксации) материала при растяжении и сдвиге.
Если ребра вводятся по методу конструктивной анизотропии (при этом ребра должны быть часто расположены), то функционал полной энергии деформации оболочки, независимо от проявляемых свойств материала можно записать в виде
(1)
Здесь 
- компоненты внешней нагрузки вдоль осей 
.
Если решается линейно-упругая задача, то усилия и моменты имеют вид [5]
Здесь 
Приведенные жесткостные характеристики ребер с учетом сдвиговой и крутильной жесткости имеют вид
;
;
;
;
;
,
где
При решении нелинейно-упругих задач обычно секущий модуль упругости, исходя из зависимости «
», аппроксимируется некоторым аналитическим выражением.
Аппроксимация секущего модуля в виде
, когда 
, справедлива при малой нелинейности кривой «
», полученной экспериментально для конкретного материала при одноосном растяжении.
При решении задач устойчивости подкрепленных оболочек вращения наиболее точная аппроксимация кривой «
» может быть получена, если кривая «
» (при сложном напряженном состоянии – это «
») задана характерными точками и по численному заданию графика «
» при полученном значении 
(найденном на предыдущей итерации, так как при решении физически-нелинейных задач удобно применять метод упругих решений А.А. Ильюшина) находится 
и за секущий модуль в точке с координатами 
берется
Заметим, что 
, поэтому при изменении 
меняется и 
, найденное из графической зависимости «
».
Таким образом, при вычислении интегралов по 
в функционале (1) необходимо при каждом значении 
и 
вычислять интеграл по переменной 
.
Если решается нелинейно-упругая задача, то усилия и моменты можно представить в виде
Здесь 
где
k=1, 2, 3.
Если решается задача ползучести, то
Здесь 
Например, для оргстекла
где 
и тогда
Для старого бетона
где
и тогда 
Литература:
1.Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. – Л.: Судпромиздат, 1962. – 431 с.
2.Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. – М.: Наука, 1972. – 432 с.
3.Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. – 420 с.
4.Ржаницын А. Р. Строительная механика. - М.: Высшая школа. 1982. – 400 с.
5.Карпов В.В. Математическое моделирование, алгоритмы исследования модели, вычислительный эксперимент в теории оболочек. –СПб.: СПбГАСУ, 2006. – 330 с.