Расчетная модель гидродинамической смазки неоднородного пористого подшипника конечной длины, работающего в устойчивом нестационарном режиме трения при наличии принудительной подачи смазки
Аннотация
Дата поступления статьи: 08.08.2013С целью исследования устойчивости работы пористых подшипников разработана расчетная модель неоднородного пористого подшипника конечной длины. С учетом анизотропии проницаемости пористого слоя в работе рассмотрены задачи об устойчивости движения шипа в подшипнике для двух разных вариантов подачи смазки: в осевом направлении и в направлении, перпендикулярном оси подшипника. Получены и проанализированы решения задач, определены области устойчивости движения шипа.
Ключевые слова: пористый подшипник, режим трения, проницаемость пористого слоя, вязкоупругая смазка.
05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Задача об устойчивости работы однослойных и двухслойных пористых подшипников конечной длины рассматривались в работах [1-7]. Существенным недостатком указанных работ является то, что в них проницаемость пористых слоев считается постоянной и, кроме того, не учитывается источник подачи смазки (рис. 1). В рассматриваемом случае трудно обеспечить жидкостный режим трения, так как подшипник работает за счет запаса смазки лишь в порах пористого слоя.
В настоящей работе нами, с учетом анизотропии проницаемости пористого слоя и наличия принудительной подачи смазки, приводится расчетная модель неоднородного пористого подшипника конечной длины, работающего в устойчивом нестационарном режиме трения. Здесь вначале рассматривается случай, когда смазка принудительно подается в направлении оси Oy, а затем в осевом направлении. Проницаемость задается в виде (1) (рис.1):
. (1)
Здесь A – заданная постоянная величина; H– толщина пористого слоя; l– безразмерный параметр, характеризующий распределение проницаемости в направлении оси Oy.
Рис. 1. Радиальный подшипник конечной длины с пористой обоймой
Гидродинамический расчет рассматриваемого подшипника нами будет производиться при следующих допущениях [1,2].
1. Толщина пористого слоя считается малой по сравнению с радиусом подшипника и в конечной модели используется короткий подшипник. Уравнение, определяющее течение смазки, в пористой матрице представляется в виде
, (2)
где y, z – прямоугольные координаты (рис.1), 
– гидродинамическое давление в пористом слое.
2. Для определения распределения давления в пленке смазки между шипом и подшипником будем исходить из модифицированного уравнения Рейнольдса в рамках модели короткого подшипника [1] .
, (3)
где 
– толщина пленки смазки, C – радиальный зазор, e – относительный эксцентриситет, q – угловая координата, p – давление в пленке смазки, m – динамический коэффициент вязкости, 
– угловые скорости соответственно подшипника, шипа и нагрузки, j – угол положения, t – время, 
– компонента скорости в направлении y на внутренней границе пористого слоя, прилегающая к зазору:
, (4)
где 
– проницаемость материала пористого слоя.
Система уравнений (2)-(3) в случае подачи смазки через поры пористого слоя в направлении оси Oy решается при граничных условиях (рис. 1)
при 
; 
при 
;
при 
; 
при 
(5)
где 
– скорость подачи смазки, 
– атмосферное давление.
В случае подачи смазки в осевом направлении граничные условия запишутся в следующем виде (рис.2, начало координат в этом случае выбрано в левом конце подшипника)
при 
; 
при 
;
при 
; 
при 
. (6)
Здесь 
– давление в начальном сечении; 
– в конечном сечении.
Переход к безразмерным переменным.
В дальнейшем предполагается, что 
.
Перейдем к безразмерным величинам по формулам [1]:
. (7)
Тогда уравнения (2) и (3) принимают следующий вид:
; (8)
, (9)
где 
; точкой обозначено дифференцирование по T.
Граничные условия (5) и (6), соответственно, примут следующий вид
при 
; 
при 
;
при 
; 
при 
; (10)
при 
; 
при 
;
при 
; 
при 
, (11)
где 
.
Перейдем к решению системы (8)-(9) с граничными условиями (10).
Установим закон подачи смазки в виде
(12)
Полагая толщину пористого слоя малой, уравнение (8) осредним по толщине смазочного слоя. Тогда уравнение (8) запишется в виде
. (13)
Решение уравнения (13), удовлетворяющее граничным условиям (10), будем искать в виде
. (14)
Подставляя (14) в (13), приходим к следующему уравнению
. (15)
Выполняя граничные условия (10), будем иметь:
, 
,
. (16)
Решение уравнения (16) можно найти после определения функции 
, удовлетворяющей условию
. (17)
Уравнение решается при граничных условиях
при 
(18)
Полагая 
, с учетом граничных условий (18), для 
окончательно получим следующее выражение
. (19)
С учетом (19), уравнение (16) решается при граничных условиях
при 
.
При определении основных рабочих характеристик явный вид функций 
и 
нам не понадобятся.
Перейдем к случаю осевой подачи смазки (рис. 2).
Рис. 2. Радиальный подшипник конечной длины с двухслойной пористой обоймой
Решение уравнений (9) и (13), удовлетворяющих граничным условиям (11), будем искать в виде
, 
. (20)
С учетом граничных условий (11), для определения 
приходим к следующему уравнению
. (21)
Функции 
и 
выражаются через функцию 
в виде
, 
. (22)
Константы 
и 
определяются выражениями
, 
(23)
Решая уравнение (21) с граничными условиями 
, 
при 
, 
, для 
получим следующее выражение
. (24)
С учетом (24), для определения уравнения 
приходим к следующему уравнению
. (25)
Решая уравнение (25) с граничными условиями 
при 
, 
, для 
окончательно получим следующее выражение
, (26)
где 
, 
.
Перейдем к определению усилий масляной пленки.
При неполном заполнении смазкой зазора область положительных давлений, ограниченная углами 
и 
, определяются из условий
;
, 
.
В случае подачи смазки в направлении перпендикулярной оси подшипника через поры пористого слоя с заданной скоростью, усилия масляной пленки вычисляются интегрированием по положительной области распределения давления, определяемые формулой
(27)
(28)
В случае осевой модели смазки
. (29)
. (30)
В случае полного заполнения смазкой зазора и подачи смазки в направлении оси Oy будем иметь
;(31)
. (32)
Рассмотрим случай полного заполнения смазкой зазора и осевой подачи смазки. Используя формулу (26), будем иметь
; (33)
. (34)
Решение задачи на устойчивость
Безразмерные уравнения, определяющие движение шипа, записываются в следующем виде
(35)
где 
– масса ротора.
и 
– усилия масляной пленки, в случае неполного заполнения смазкой зазора они определяются формулами (27), (28), когда смазка подается перпендикулярно оси подшипника, и формулами (29) и (30) в случае осевой подачи смазки. Для случая полного заполнения смазкой зазора эти усилия определяются, соответственно, формулами (31)-(34).
Уравнения (35), определяющие движение шипа, решаются численно с учетом полученных данных (27)-(34). Компоненты ускорения 
, 
представляют собой явные функции параметров 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Уравнения (31) записываются в стандартной форме первого порядка и решаются с помощью метода, разработанного Гиром [7].
После получения решения уравнений движения, устойчивость рассматриваемого движения определяется визуально по графику. При заданных значениях выше указанных параметров, области устойчивости приведены на рис. 3-4. Здесь все точки, которые лежат ниже кривых устойчивости, соответствуют устойчивому движению шипа, а все точки, которые лежат выше кривых, соответствуют неустойчивому движению 
, где 
– ускорение силы тяжести.
Из зависимостей, приведенных на рис. 3 и 4, следует, что:
1. Пористый подшипник как при осевой подаче смазки, так и при подаче перпендикулярно оси, работает более устойчиво, чем пористый подшипник, работающий без подачи смазки.
2. Площадь области устойчивости, в случае подачи смазки в направлении перпендикулярной оси подшипника, расширяется в сравнении с подачей смазки в осевом направлении.
3. В случае полного заполнения смазкой зазора и учета анизотропии проницаемости пористого слоя подшипник работает более устойчиво, чем при частичном заполнении смазкой зазора и при 
.
Рис. 3. Схематическое изображение границ области устойчивости.
Подача смазки в направлении оси Оy (
)
1 - 
=0,03, 
=0,1; 2 - 
=0,03, 
=0;
3 - 
=0,03, 
=0,1 (неполное заполнение смазкой зазора);
4 - 
=0,03, 
=0 (неполное заполнение смазкой зазора);
5 - 
=0,01, 
=0,1; 6 - 
=0, 
=0;
7 - 
=0,01, 
=0,1 (неполное заполнение смазкой зазора);
8 - 
=0,01, 
=0 (неполное заполнение смазкой зазора).
Рис. 4. Схематическое изображение границ области устойчивости
Осевая подача смазки (
=0,04; 
=0,03; 
=0,5; 
=0)
1 - 
=0,03, 
=0,1; 2 - 
=0,03, 
=0;
3 - 
=0,03, 
=0,1 (неполное заполнение смазкой зазора);
4 - 
=0,03, 
=0 (неполное заполнение смазкой зазора);
5 - 
=0,01, 
=0,1; 6 - 
=0, 
=0;
7 - 
=0,01, 
=0,1 (неполное заполнение смазкой зазора);
8 - 
=0,01, 
=0 (неполное заполнение смазкой зазора).
Литература:
1. Конри. Об устойчивости пористых радиальных подшипников. Конструирование и технология машиностроения / Конри, Кузано // Вестник Машиностроения.- 1974. - № 2. - С. 206-216.
2. Ахвердиев, К.С.,Об устойчивости двухслойных пористых радиальных подшипников / К.С. Ахвердиев, О.В. Муленко // Вестник РГУПС. - 2002. - № 3. – С. 5-7.
3. Кузано. Исследование коэффициента передачи упругой опоры качения в демпфере со сдавливаемой пленкой и пористой обоймой. / Кузано, Р.Е. Франк // Проблемы трения и смазки. - изд-во «Мир». – 1974. - № 1, - С. 54.
4. Ахвердиев, К.С. Разработка математической модели гидродинамического расчета конических подшипников. / К.С. Ахвердиев, Б.Е. Копотун // – Вестник РГУПС. - 2005. - № 3. - С 5-9.
5. Ахвердиев, К.С. Нестационарная математическая модель гидродинамической смазки сложнонагруженного составного конического подшипника с пористым слоем на его рабочей поверхности с учетом его конструктивной особенности. / К.С. Ахвердиев, С.Ф. Кочетова, М.А. Мукутадзе // - Вестник РГУПС. - 2009 - № 1. – С. 135-143.
6. Ахвердиев, К.С. Устойчивость движения шипа в коническом подшипнике с пористым слоем на рабочей поверхности. / К.С. Ахвердиев, Б.Е. Копотун, М.А. Мукутадзе // - Трение и износ. – 2007. – Т. 28. - № 4. – С. 361-366.
7. Gear C.W., Numarical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations / C.W. Gear. - Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs. - N.J., 1972. – С. 52.
8. Майба, И.А., Глазунов, Д.В. Теоретическое обоснование механизма смешанной (полужидкостной) смазки в контакте «твердый оболочечный смазочный стержень-колесо-рельс» [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012 г., №1 – Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n1y2012/664 (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.
9. Дерлугян Ф.П., Щербаков И.Н. Обоснование процесса получения композиционных антифрикционных самосмазывающихся материалов с заданными техническими характеристиками методом химического наноконструирования. [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2010 г., №4 – Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4y2010/287 (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.
10. Reynolds, O. On the theory of lubrication and its application to Mr. Beauchamp Tower”s experiments / O. Reynolds. – Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1886, vol. 177, pt. 1.