Колебания многослойной полуплоскости с относительно сильно заглубленной полостью произвольной формы

Аннотация

Р.Р. Кадыров, А.А. Ляпин, И.С. Савилкин

Дата поступления статьи: 18.11.2013

Рассмотрено решение задачи о колебания многослойной полуплоскости с полостью произвольной формы методом граничных интегральных уравнений. Для случая относительно сильного заглубления полости использованы асимптотическое представление фундаментальных решений. Приведены результаты решения задачи для перемещений и напряжений вблизи поверхности полости методом граничных элементов.

Ключевые слова: многослойная среда, полость произвольной формы, асимптотический анализ, метод граничных интегральных уравнений

05.23.17 - Строительная механика

При проектировании строительных объектов в сейсмоопасных регионах необходимо учитывать строение и свойства основания, как правило, многослойного, а также наличие возможных заглубленных в него неоднородностей типа полостей или включений. Сложности математического моделирования динамических процессов в таких областях обусловлены большим числом параметров задачи и наличием отражающих и преломляющих поверхностей различной формы (плоские и криволинейные поверхности). В случае, когда полость имеет каноническую форму (круговой или эллиптический цилиндр, сфера), развиты подходы сведением краевой задачи к системе линейных алгебраических уравнений [1,2], а также  использованием асимптотических методов [3,4]. При существенном отличии формы полости или включения от канонической наиболее распространенным является использование метода граничных интегральных уравнений (ГИУ) [5,6]. При большом количестве слоев основания решение систем ГИУ представляет достаточно серьезную проблему. По этой причине в случае, когда полость произвольной формы достаточно сильно удалена от дневной поверхности представляется целесообразным использовать асимптотические методы для упрощения решении систем ГИУ. 
Рассматривается упругая - слойная полуплоскость, занимающая в декартовой системе координат  область , как показано на рис. 1. Полуплоскость содержит заглубленную неоднородность с замкнутой кусочно-гладкой границей . Колебания в установившемся гармоническом с частотой  режиме возбуждаются заданным на границе полости вектором распределенных усилий , а на дневной поверхности среды в ограниченной области   – вектором напряжений   (рис.1).

 

Рис. 1

Рассматривается  случай относительно сильно заглубленной полости при наложении ограничения
,     (1)                                             
здесь  - минимальное расстояние между  границами полуплоскости и  полости, -  длина продольной  волны  в  полуплоскости.
Решение краевой задачи сведено к граничному интегральному уравнению (ГИУ) вида:

   (2)         
относительно неизвестного вектора перемещений ,  на . Здесь ,  - матрицы фундаментальных решений в перемещениях и напряжениях [7,8]  для полуплоскости со свободной границей при действии точечного источника колебаний в .
Для фундаментальных решений на основе принципа суперпозиции использовано представление:
,  (3)                      
где  - поле точечного источника колебаний интенсивности  в плоскости,  - поле симметрично расположенного относительно границы  источника интенсивности ,  а   - поле отраженных от  волн. 
Вычисление функций  и   в виде набора функций Ханкеля является легко реализуемой задачей. Для  поля отраженных волн ,  , имеем представление в виде интеграла Фурье [9]:
    (4)          


где,  - амплитудные функции, не содержащие больших параметров.
В случае принятого условия (1) для (4) применим метод стационарной фазы [10] для большого параметра  .  В частности получим
                                   (5)
,  
.
Дальнейшее исследование задачи осуществлено на основе метода граничных элементов. Участок границы полости в одну длину волны  разбивался на 20 элементов. Решение системы линейных алгебраических уравнений осуществлялось методом итераций.   В качестве примера на рис. 2 приведены амплитуды радиального и тангенциального перемещений на границе круговой полости в двухслойной полуплоскости в зависимости от угла  при   и параметрах задачи: , , , , ,  МПа. На рис. 3 отражен характер концентрации напряжений  на поверхности полости, полученных численным дифференцированием соответствующих поверхностных смещений.

Рис. 2

Рис. 3

Литература:

1. Гузь, А.Н.   Дифракция упругих волн [Текст]: Монография /  Гузь, А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А.  -Киев: Наук.думка, 1978. –308 с.
2. Ляпин А.А. Возбуждение волн в слоистом полупространстве со сферической полостью [Текст] // Изв. АН СССР, МТТ. –1991. –№3. –C.76-81.
3. R.A. Roberts  Elastodynamic scattering by a surface-breaking void // J.Acoust.Soc.Am. –1989. –85, 2. – P.561-566.
4. Ляпин А.А. О возбуждении волн в слоистой среде с локальным дефектом [Текст]  // ПМТФ. –1994. –Т.35.  –№.5. –C.87-91.
5. Gautesen A.K.     Asymptotic  solution to  the crack-opening displacement integral  equations  for  the  scattering  of plane waves by cracks. I. The symmetric problem. //  J.Acoust. Soc. Amer. -1990. -87,  N3. -P.937-942.
6. Ляпин А.А., Селезнев М.Г.  К построению решений динамических задач  для слоистых сред нерегулярной структуры [Текст] // Экологический вестник научных центров ЧЭС, №2, 2006. –С. 37-39.
7.  Кадомцев М.И., Ляпин А.А., Селезнев  М.Г.   Исследование динамики заглубленных фундаментов методами граничных и конечных элементов [Текст] // Строительная механика и расчет сооружений. – 2010. – № 3. – С.61–64.
8. Кадыров Р.Р., Ляпин А.А. Особенности возбуждения слоистых сред внутренними источниками колебаний  [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №3. – Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n1y2009/250 (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.   
9. Кадомцев М.И., Ляпин А.А., Тимофеев С.И. К вопросам построения эффективных алгоритмов расчета системы «сооружение-грунт» [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №1. – Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n1y2009/250 (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.   
10.   Федорюк, М.В.  Асимптотика: интегралы и ряды [Текст]: Монография / М.В. Федорюк. - М.: Наука, 1987. – 544 с.